Question

6．已知等比数列{a_n}满足a₁a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{9}$
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n+1}{1×2}+\frac{n+1}{2×3}+…+\frac{n+1}{n（n+1）}$，求数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项的和．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{n+1}{1×2}+\frac{n+1}{2×3}+…+\frac{n+1}{n（n+1）}$=（n+1）$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=n，可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=\frac{1}{3}}\\{{a}_{1}{q}^{2}=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，解得a₁=1，$q=\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）b_n=$\frac{n+1}{1×2}+\frac{n+1}{2×3}+…+\frac{n+1}{n（n+1）}$=（n+1）$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=（n+1）×$（1-\frac{1}{n+1}）$=n，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n项的和T_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}$$+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2×{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{2n+3}{4×{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．