题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当m=1时,若方程在区间
上有唯一的实数解,求实数a的取值范围;
(3)当m>0时,若对于区间[1,2]上的任意两个实数x1,x2,且x1<x2,都有成立,求实数m的最大值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)求得函数定义域后对函数求导,对分成
两类,讨论函数的单调区间.(2)化简
,分离出常数
.利用导数求得函数
的单调区间,由此求得
的取值范围.(3)由(1)知函数
在
上递增.由此去掉绝对值化简题目所给不等式,构造函数
,利用
在
上递减,导数小于零,分离出常数
,再利用导数求得
的最大值.
(1)f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x)=x+m+=
,
m≥0时,f′(x)>0, 故m≥0时,f(x)在(0,+∞)递增;
m<0时,方程x2+mx+m=0的判别式为: △=m2-4m>0,
令f′(x)>0,解得:x>,
令f′(x)<0,解得:0<x<,
故m<0时,f(x)在(,+∞)递增,在(0,
)递减;
(2)m=1时,由题意得: x2+x+lnx=
x2+ax, 整理得:a=1+
,
令g(x)=1+,g′(x)=
,
令g′(x)>0,解得:x∈(0,e),函数g(x)在(0,e)递增,
令g′(x)<0,解得:x∈(e,+∞),函数g(x)在(e,+∞)递减;
若方程f(x)=x2+ax在[e,+∞)上有唯一实数根,
须求g(x)在[e,+∞)上的取值范围,
g(x)≤g(e)=1+,又g(x)=1+
>1,(x>e), ∴a的范围是g(
)≤a≤1,
即1-e≤a≤1;
(3)由(1)知,当m>0时,函数f(x)在(0,+∞)递增,
又[1,2](0,+∞),故f(x)在[1,2]递增;
对任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2), 故f(x2)-f(x1)>0,
由题意得:f(x2)-f(x1)<-
, 整理得:f(x2)-
<f(x1)-
,
令F(x)=f(x)-x2=-x2+mx+mlnx, 则F(x)在[1,2]递减, 故F′(x)=
,
当x∈[1,2]时,-x2+mx+m≤0恒成立,即m≤,
令h(x)=,则h′(x)=
>0, 故h(x)在[1,2]递增,
故h(x)∈[,
], 故m≤
.
实数
的最大值为
.
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