题目内容
【题目】随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有
（
，
）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为
（
）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这
个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．
（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性
、
（用和表示）；
（ii）比较与的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；
（2）设
，
，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为
，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）（i）
，
（ii）
，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）见解析，
【解析】
（1）（i）利用对立事件的概率公式计算，
个元件串联通路的概率是
，而个元件并联时不通的概率是，由此可计算可计算方案①和方案②建立的电路系统的可靠性
、
；（ii）作差后构造函数
，利用导数可得其单调性从而得
与
的大小，得出结论；
（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，元件损坏的概率是条件概率，可计算编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为
，由此可知，
，依次计算出各概率，得分布列，再由二项分布计算出期望．
解：（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性
；
按方案②建立的电路系统的可靠性为
；
（ii）
．
令，
且
，则
．
当
时，
，从而
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，即
．
所以，，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．
（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为，由此可知，．
，
，
，
，
；
所以，随机变量
的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
．
