Question

对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则实数m的取值范围是

(0，

1

4

)

；x₁+x₂+x₃的取值范围是

(

5- 3

4

，1)

．

Answer 1

分析：由已知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x₁+x₂+x₃的取值范围

解答：解：∵a*b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x≤0 -x2+x，x＞0

，
则当x=0时，函数取得极小值0，当x=

1

2

时，函数取得极大值

1

4

故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃时，
实数m的取值范围是(0，

1

4

)
令f（x）=

1

4

，则x=

1- 3

4

，或x=

1

2

不妨令x₁＜x₂＜x₃时
则

1- 3

4

＜x₁＜0，x₂+x₃=1
∴x₁+x₂+x₃的取值范围是(

5- 3

4

，1)
故答案为：(0，

1

4

)，(

5- 3

4

，1)

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象形状及性质是解答的关键．