Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1，（a为实数），g（x）=lnx﹣x
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）求证：lnx＜x＜ex（x＞0）

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得f′（x）=ex﹣a

当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，

故函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，lna）上单调递减

（2）解：函数g（x）的定义域为（0，+∞）， ，

由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．

所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

故函数g（x）在x=1取得极大值，其极大值为ln1﹣1=﹣1

（3）证明：当a=1时，f（x）=ex﹣x﹣1，

由（1）知，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0处取得极小值，也是最小值，

且f（x）min=0，故ex﹣x﹣1＞0（x＞0），得到ex＞x+1（x＞0）．

由（2）知，g（x）=lnx﹣x在x=l处取得最大值，且g（x）max=﹣1，

故lnx﹣x≤﹣1（x＞0），得到lnx≤x﹣1＜x（x＞0）．

综上lnx＜x＜ex（x＞0）．

【解析】（1）求导数得到f′（x）=ex﹣a，然后讨论a的符号，从而可判断导数符号，这样即可求出每种情况下函数f（x）的单调区间；（2）可先求出函数g（x）的定义域，然后求导，判断导数的符号，从而根据极值的概念求出函数g（x）的极值；（3）可知a=1时，f（x）在x=0处取得极小值，从而可得出ex＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1处取得极大值，也是最大值﹣1，这样即可得出lnx≤x﹣1＜x，这样便可得出要证的结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．