题目内容

【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1,(a为实数),g(x)=lnx﹣x
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)求函数g(x)的极值;
(3)求证:lnx<x<ex(x>0)

【答案】
(1)解:由题意得f′(x)=ex﹣a

当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,

当a>0时,由f′(x)>0可得x>lna,由f′(x)<0可得x<lna,

故函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(﹣∞,lna)上单调递减


(2)解:函数g(x)的定义域为(0,+∞),

由g′(x)>0可得0<x<1;由g′(x)<0,可得x>1.

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

故函数g(x)在x=1取得极大值,其极大值为ln1﹣1=﹣1


(3)证明:当a=1时,f(x)=ex﹣x﹣1,

由(1)知,f(x)=ex﹣x﹣1在x=ln1=0处取得极小值,也是最小值,

且f(x)min=0,故ex﹣x﹣1>0(x>0),得到ex>x+1(x>0).

由(2)知,g(x)=lnx﹣x在x=l处取得最大值,且g(x)max=﹣1,

故lnx﹣x≤﹣1(x>0),得到lnx≤x﹣1<x(x>0).

综上lnx<x<ex(x>0).


【解析】(1)求导数得到f′(x)=ex﹣a,然后讨论a的符号,从而可判断导数符号,这样即可求出每种情况下函数f(x)的单调区间;(2)可先求出函数g(x)的定义域,然后求导,判断导数的符号,从而根据极值的概念求出函数g(x)的极值;(3)可知a=1时,f(x)在x=0处取得极小值,从而可得出ex>x+1,而由(2)可知g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值﹣1,这样即可得出lnx≤x﹣1<x,这样便可得出要证的结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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