Question

3．已知函数f（x）=x²-4x-4．
①若函数定义域为[3，4]，求函数值域．
②若函数定义域为[-3，4]，求函数值域．
③当x∈[a-1，a]时，y的取值范围是[1，8]，求a．

Answer 1

分析 ①对f（x）配方：f（x）=（x-2）²-8，比较f（3），f（4）的大小，从而得出f（x）的最大值，从而写出f（x）的值域；
②方法同上，比较f（-3），f（4）的大小，从而得出f（x）的值域；
③根据f（x）的值域为[1，8]，说明2∉[a-1，a]，从而区间[a-1，a]在对称轴x=2的一边，从而由$\left\{\begin{array}{l}{f（a-1）=1}\\{f（a）=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（a-1）=8}\\{f（a）=1}\end{array}\right.$得出a的值．

解答 解：f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8；
①f（3）=-7，f（4）=-4；
∴f（x）在[3，4]上的值域为[-8，-4]；
②f（-3）=17；
∴f（x）在[-3，4]上的值域为[-8，17]；
③根据条件知2∉[a-1，a]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a-1）=（a-3）^{2}-8=1}\\{f（a）=（a-2）^{2}-8=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（a-1）=（a-3）^{2}-8=8}\\{f（a）=（a-2）^{2}-8=1}\end{array}\right.$；
解得a=6或-1．

点评 考查配方法求二次函数的值域，函数值域的概念，二次函数的对称轴，以及由函数单调性求函数值域．