题目内容
【题目】已知
，
，
（x≥0）成等差数列．又数列{an}（an＞0）中，a1＝3，此数列的前n项的和Sn（n∈N*）对所有大于1的正整数n都有Sn＝f（Sn－1）．
（1）求数列{an}的第n＋1项；
（2）若
是
，
的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn．
【答案】（1）an＋1＝6n＋3 （2）
【解析】
试题分析：（1）由
，
，
（x≥0）成等差数列，利用等差数列定义得到f（x）的函数解析式，再利用Sn＝f（Sn－1）得到数列an的关于前n项和式子，在有前n项和求出数列的第n+1项；（2）由于
是
的等比中项，所以可以利用等比中项的定义得到数列bn的通项公式，在利用裂项相消法可以求{bn}的前n项和Tn．
试题解析：（1）∵
，
，
（x≥0）成等差数列，
∴×2＝
＋
．1分
∴f（x）＝（
＋
）2．
∵Sn＝f（Sn－1）（n≥2），
∴Sn＝f（Sn－1）＝（
＋
）2． 3分
∴
＝
＋
，
－
＝
．
∴{
}是以
为公差的等差数列． 5分
∵a1＝3，所以S1＝a1＝3．
∴
＝
＋（n－1）
＝
＋
－
＝
n． 7分
∴Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3． 8分
（2）∵数列
是
，
的等比中项，
∴（
）2＝
·
， 10分
∴bn＝
＝
=
．
∴Tn＝b1＋b2＋＋bn＝
12分
＝
＝
． 14分
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