题目内容

如图,在直三棱柱中,的中点.

(1)求证:平行平面
(2)求二面角的余弦值;
(3)试问线段上是否存在点,使角?若存在,确定点位置,若不存在,说明理由.
(1)只需证;(2);(3)点为线段中点时,角.

试题分析:(Ⅰ)证明:连结,交于点,连结.
是直三棱柱,
得 四边形为矩形,的中点.
中点,所以中位线,
所以 ,        
因为 平面平面
所以 ∥平面.  
(Ⅱ)由是直三棱柱,且,故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.设

.
所以  
设平面的法向量为,则有
所以  取,得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角,得 .
所以二面角的余弦值为.
(Ⅲ)假设存在满足条件的点.
因为在线段上,,故可设,其中.
所以 .
因为角,所以.
,解得,舍去.        
所以当点为线段中点时,角.
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
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