题目内容
设函数y=f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0．若函数在x=2处取得极值0，则函数的单调减区间为
（1，2）
（1，2）
．分析：根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，即可求出d，根据导数的几何意义可知函数在x=0处的导数即为切线的斜率，求出c，再根据函数在x=2处取得极值0，建立f'（2）=0，f（2）=0，求出a和b，从而求出函数f（x）的解析式，最后解不等式fˊ（x）＜0即可求出函数的单调减区间．
解答：解：∵点P在切线12x-y-4=0上，∴P（0，-4），∴d=-4．
f'（x）=3ax2+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x3-9x2+12x-4，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
令fˊ（x）=6（x-1）（x-2）＜0⇒1＜x＜2．
∴f（x）的单调递减区间是（1，2）．
故答案为：（1，2）
f'（x）=3ax2+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x3-9x2+12x-4，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
令fˊ（x）=6（x-1）（x-2）＜0⇒1＜x＜2．
∴f（x）的单调递减区间是（1，2）．
故答案为：（1，2）
点评：考查学生会利用待定系数法求函数解析式，会求函数的导函数并会根据导数表示直线的斜率，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
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