题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-2a1，Sn，2an+1成等差数列．
（1）当a1=2时，求{an}的通项公式；
（2）当a1=2时，设bn=log2 （an2）-1，若对于n∈N*，
+
+
+…+
＜k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设cn=Sn+1，问：是否存在a1，使数列{cn}为等比数列？若存在，求出a1的值，若不存在，请说明理由．
（1）当a1=2时，求{an}的通项公式；
（2）当a1=2时，设bn=log2 （an2）-1，若对于n∈N*，
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
（3）设cn=Sn+1，问：是否存在a1，使数列{cn}为等比数列？若存在，求出a1的值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）由已知中-2a1，Sn，2an+1成等差数列，可得Sn=an+1-a1，进而可得an+1=2an，结合a1=2时，可得{an}的通项公式；
（2）由（1）结合对数的运算性质，可得数列{bn}的通项公式，进而利用拆项法可求出
+
+
+…+
的表达式，进而可得实数k的取值范围；
（3）由cn=a1×2n-a1+1，结合等比数列的定义，可得当且仅当-a1+1=0时，数列{cn}为等比数列．
（2）由（1）结合对数的运算性质，可得数列{bn}的通项公式，进而利用拆项法可求出
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
（3）由cn=a1×2n-a1+1，结合等比数列的定义，可得当且仅当-a1+1=0时，数列{cn}为等比数列．
解答：解：（1）∵-2a1，Sn，2an+1成等差数列
∴2Sn=-2a1+2an+1，
∴Sn=an+1-a1，…①
当n≥2时，Sn-1=an-a1，…②
两式相减得：an=an+1-an，
即an+1=2an，------（2分）
当n=1时，S1=a2-a1，即a2=2a1，
适合an+1=2an，-------------（3分）
所以数列{an}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
所以an=2n---------------------------------------------------（4分）
（2）由（1）得an=2n，所以bn=log2 （an2）-1=2n-1
∴
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=
[（1-
）+（
-
）+（
-
）+…+（
-
）]=
（1-
）
∵n∈N*，
∴
（1-
）＜
若对于n∈N*，
+
+
+…+
＜k恒成立，
∴k≥
-----------------（8分）
（ 3）由（1）得数列{an}是以a1为首项，以2为公比的等比数列
所以cn=Sn+1=
+1=a1×2n-a1+1--------------------------（10分）
要使{cn}为等比数列，当且仅当-a1+1=0
即a1=1
所以存在a1=1，使{cn}为等比数列--------------------------------（12分）
∴2Sn=-2a1+2an+1，
∴Sn=an+1-a1，…①
当n≥2时，Sn-1=an-a1，…②
两式相减得：an=an+1-an，
即an+1=2an，------（2分）
当n=1时，S1=a2-a1，即a2=2a1，
适合an+1=2an，-------------（3分）
所以数列{an}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
所以an=2n---------------------------------------------------（4分）
（2）由（1）得an=2n，所以bn=log2 （an2）-1=2n-1
∴
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
∵n∈N*，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
若对于n∈N*，
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
∴k≥
| 1 |
| 2 |
（ 3）由（1）得数列{an}是以a1为首项，以2为公比的等比数列
所以cn=Sn+1=
| a1(1-2n) |
| 1-2 |
要使{cn}为等比数列，当且仅当-a1+1=0
即a1=1
所以存在a1=1，使{cn}为等比数列--------------------------------（12分）
点评：本题考查的知识点是等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，恒成立问题，是数列的综合应用，难度较大，属于难题．
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