Question

设函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x.
(1)求函数的单调区间；
(2)设h(x)＝f′(x)＋，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）在(0，＋∞)上单调递增．（2）0

(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝ln x＋－1，不妨令g(x)＝ln x＋－1，g′(x)＝－＝，
当x>1 ，g′(x)>0，函数g(x)＝f′(x)单调递增，又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当0<x<1，g′(x)<0，g(x)＝f′(x)单调递减，
又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以0<x<1，f′(x)>0.
函数f(x)单调递增．
所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)h(x)＝ln x＋－1＋，h′(x)＝－－＝，设φ(x)＝xe^x－e^x－x²，φ′(x)＝xe^x－2x＝x(e^x－2)，当x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，
又因为φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以0<x<ln 2，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．
当x∈(ln 2，＋∞)，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，又因为φ(x)>φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)²，又φ(1)＝－1<0，φ(2)＝e²－4>0，故存在x₀∈(1,2)，使得φ(x)＝0，即x₀ex₀－ex₀－＝0，在(0，x₀)上，φ(x)<0，在(x₀，＋∞)上，φ(x)>0.
即h(x)在(0，x₀)上递减，在(x₀，＋∞)上递增．
所以有h(x)≥h(x₀)＝ln x₀＋－1＋，又＝－，所以h(x)≥h(x₀)＝ln x₀＋－1＋＝ln x₀＋－－1，不妨令M(x)＝ln x＋－－1，当x∈(1,2)时，M′(x)＝.
M′(x)＝＝>0恒成立，所以，M(x)是单增函数，又M(1)＝0，M(2)＝ln 2－<1，
所以有1>h(x₀)＝ln x₀＋－－1>0.
所以k≤0，所以k的最大值为0.