Question

已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）增区间，减区间；（2）；（3）.

试题分析：（1）将代入函数解析式，直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间；（2）将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”，结合参数分离法进行求解；（3）构造新函数，将“不等式在区间上恒成立”等价转化为“”，利用导数结合函数单调性围绕进行求解，从而求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
，
解得；解得，
故的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）因为函数在区间上为减函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，；
（3）因为当时，不等式恒成立，
即恒成立，设，
只需即可
由，
①当时，，
当时，，函数在上单调递减，故成立；
②当时，令，因为，所以解得，
（i）当，即时，在区间上，
则函数在上单调递增，故在上无最大值，不合题设；
（ii）当时，即时，在区间上；在区间上．
函数在上单调递减，在区间单调递增，同样在无最大值，不满足条件；
③当时，由，故，，
故函数在上单调递减，故成立
综上所述，实数的取值范围是.