Question

【题目】设函数f（x）= （a＞b＞0）的图象是曲线C．

（1）在如图的坐标系中分别做出曲线C的示意图，并分别标出曲线C与x轴的左、右交点A1 ， A2 ．
（2）设P是曲线C上位于第一象限的任意一点，过A2作A2R⊥A1P于R，设A2R与曲线C交于Q，求直线PQ斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （a＞b＞0），

∴y= ，

∴a2y2=b2（a2﹣x2），∴b2x2+a2y2=b2a2，

∴ =1，a＞b＞0，且y≥0，

其图象表示焦点在x轴上椭圆的一部分，

如图所示，A1 （﹣a，0）、A2（a，0）

（2）解：曲线C的方程是 =1（a＞b＞0，y≥0），

设 直线A1P的斜率是k，

因为P是曲线C上位于第一象限内的任意一点，所以k∈（0， ）．

设P，Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则直线A1P的方程是y=k（x+a），

由 消去y得，（a2k2+b2）x2+2a3k2x+a2（a2k2﹣b2）=0，

解得x1= ，y1= ．

将上式中的a换成﹣a，k换成﹣ 得x2= ，y2= ，

∴KPQ= = （k﹣ ），由于y= （k﹣ ）在∈（0， ）上单调递增，

∴KPQ= = （k﹣ ）＜ （ ﹣ ）= ，

故直线PQ斜率的取值范围为（﹣∞， ）．

【解析】（1）化简函数的解析式为 =1，a＞b＞0，且y≥0，其图象表示焦点在x轴上椭圆的一部分，数形结合求得，A1 和A2的坐标．（2）先考察一般性，直线A1P的方程是y=k（x+a），与椭圆方程联立，求得P，Q的坐标，可得直线PQ斜率，即可求出取值范围．