题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,直线
与椭圆C交于A,B两点,且
.
(1)求椭圆C的方程.
(2)不经过点的直线
被圆
截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线
与椭圆C交于D,E两点,试判断
的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)
的周长为定值为
,详见解析
【解析】
(1)根据已知条件求出A、B两点的坐标,再由和离心率为
建立关于a,b,c的方程,从而得椭圆的方程;
(2)根据直线被圆所截得的弦长等于椭圆的长轴长得出k,m的关系,再将直线与椭圆的方程联立消去y,得到交点的横坐标的韦达定理表达式,分别求出,得出
的周长为定值,得解.
(1)因为,所以
,则
即
,所以椭圆C的方程可化为
,
由得
不妨令
易知则
因为,所以
,即
,
又,所以
所以椭圆C的方程为
(2)由(1)知椭圆C的长轴长为,因为直线
被圆
截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,所以圆
的圆心O(O为坐标原点)到直线l的距离
,所以
,即
设,联立方程,得
整理得
所以,又
,
所以
又
所以,
所以的周长是
.
所以的周长为定值,为
.
得解.
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