Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ-1
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₃a_n²+a_2n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=2（n-1）+$\frac{1}{3}$•9ⁿ，进而利用等差、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵2S_n=3ⁿ-1，
∴当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1），
整理得：a_n=3^n-1（n≥2），
又∵2S₁=3¹-1即a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知：b_n=log₃a_n²+a_2n=2（n-1）+3^2n-1=2（n-1）+$\frac{1}{3}$•9ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2•$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$=n（n-1）+$\frac{3}{8}$•（9ⁿ-1）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的运算性质，注意解题方法的积累，属于中档题．