题目内容

若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，记函数f（x）=2
a
•
b
，f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为
π
2
，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调减区间和f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．
分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简得f（x）=2sin(2ωx-
π
6
)+1，再由正弦函数周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．再根据正弦函数的值域和函数取最大值时x的取值，解关于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．
解答：解：∵
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，sinωx）
∴
a
•
b
=
3
sinωxcosωx+sin2ωx=
3
2
sin2ωx+
1
2
（1-cos2ωx）
故f（x）=2
a
•
b
=
3
sin2ωx-cos2ωx+1=2sin(2ωx-
π
6
)+1…（4分）
（1）∵f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为
π
2

∴可得
T
2
=
π
2ω
=
π
2
，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-
π
6
）+1
由2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，可得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
3
，k∈Z
∴f（x）的单调减区间为[kπ+
π
3
，kπ+
5π
3
]，k∈Z…（8分）
当2x-
π
6
=
π
2
+2kπ（k∈Z），即x=
π
3
+kπ时，函数的最大值fmax（x）=3
∴f（x）的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为{x|x=
π
3
+kπ，k∈Z}…（12分）
点评：本题以向量的数量积运算为载体，给出三角函数式求函数的单调区间和周期，并求取得最大值时x的取值集合，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω∈(-
1
2
，
5
2
)，函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
，且f（x）的图象关于直线x=
π
3
对称．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象；若函数y=g（x），x∈(
π
2
，3π)的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．
若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（
a
+
b
）•
b
+k．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）的解析式，并说明如何由y=sinx的图象变换得到y=f（x）的图象．
若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，记函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2

（1）若f（x）的图象中两条相邻对称轴间的距离
π
2
，求ω及f（x）的单调减区间．
（2）在（1）的条件下，且x∈[-
π
6
，
π
6
]，求最大值．
若
a
=(
3
cosωx，sinωx)，
b
=(sinωx，0)，其中ω＞0，函数f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k．
（1）若f（x）图象申相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是
1
2
，求f（x）的解析式．

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