Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=（sinωx，0），其中ω＞0，记函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

+k．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）的解析式，并说明如何由y=sinx的图象变换得到y=f（x）的图象．

Answer 1

分析：利用向量的数量积，化简函数的表达式，通过二倍角、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）利用周期与函数f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，得到关系式，求出ω的取值范围；
（2）通过周期求出ω，通过函数的最大值，求出x的值，然后确定k的值．利用函数图象平移的原则：左加右减，上加下减由函数y=sinx的图象变换得到函数y=f（x）的图象．

解答：解：∵

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx）．
故f（x）=（

a

+

b

）•

b

+k=

3

sinωxcosωx+sin²ωx+k
=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．
（1）由题意可知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

．
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]．
从而当2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

时，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

．故f（x）=sin（2x-

π

6

）．
由函数y=sinx的图象向右平移

π

6

个单位长度，得到函数y=sin（x-

π

6

）的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简、公式的应用、周期的求法、最值的应用及函数图象的变换，还考查发现问题解决问题的能力、计算能力，是常考题型．