Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω∈(-

1

2

，

5

2

)，函数f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，且f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象；若函数y=g（x），x∈(

π

2

，3π)的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

，把向量

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，代入化简，利用f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称求出ω，得到函数f（x）的表达式．
（2）按照将y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，求出函数
y=g（x）的图象；求出函数y=g（x），x∈(

π

2

，3π)的范围，图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，列出方程，求a的值．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)
∴

a

+

b

=(

3

cosωx+sinωx，sinωx)f(x)=(

3

cosωx+sinωx，sinωx)•(sinωx，0)-

1

2

=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)
∵f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称，
∴2ω•

π

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得ω=

3

2

k+1
∵ω∈(-

1

2

，

5

2

)，∴-

1

2

＜

3

2

k+1＜

5

2

，∴-1＜k＜1（k∈Z），∴k=0，ω=1
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)
（2）将f(x)=sin(2x-

π

6

)的图象向左平移

π

3

个单位后，
得到f(x)=sin[2(x+

π

3

)-

π

6

]=sin(2x+

π

2

)=cos2x，
再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到y=g（x）=cosx
函数y=g（x）=cosx，x∈(

π

2

，3π)的图象与y=a的图象有三个交点坐标分别为（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a）且

π

2

＜x1＜x2＜x3＜3π，
则由已知结合如图图象的对称性有

x 2 2 =x1x3 x1+x2 2 =π x2+x3 2 =2π

，解得x2=

4π

3

∴a=cos

4π

3

=-

1

2

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平面向量数量积的运算，正弦函数的单调性，考查计算能力，考查数形结合思想．