题目内容

已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于点.
(Ⅰ)若(点在第一象限),求直线的方程;
(Ⅱ)求证:为定值(点为坐标原点).
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析

试题分析:(Ⅰ)由抛物线的方程知焦点为,准线为。设,因为点在第一象限所以。由抛物线的定义可知等于点到抛物线准线的距离,即,可得,从而可求得点的坐标。由点和点可求直线的方程。(Ⅱ)可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,为了省去讨论也可直接设直线方程为,与抛物线联立方程,消去整理可得关于的一元二次方程,因为有两个交点即方程有两根,所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。用向量数量积公式求即可得证。
试题解析:解:(Ⅰ)设,由题意,.
在抛物线上,且
到准线的距离为.
.                                     2分

.
.
,                                              4分
直线的方程为,即.        5分
(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:.
,即.          7分
显然恒成立.
,则                  9分

.
为定值.                                11分
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