题目内容

(本题14分)已知是函数的极值点。

(1)求实数的值;(2)若函数恰有一个零点,求实数的范围;

(3)当时,函数的图象在处的切线与轴的交点是。若,问是否存在等差数列,使得对一切都成立?若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由。

(Ⅰ)    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

(1)=           2

又x=0是的极值点,                                   4

(2)由(1)知

时,函数恰有一个零点               6

时,,当变化时,变化情况如下:

0

+

0

-

0

+

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

由上表知函数的极大值为,又     7

由函数的图象变化知,函数恰有一个零点时,的取值范围为 8

综上所述:当时,   当时,      9

(3)

函数的图象在处的切线为,     10

又其切线与轴的交点是,代入上述方程整理得    (1)

代入(1)式整理得,     11

是等比数列,     12假设存在等差数列,使得对一切都有

      (2)

时,    (3)

(2)-(3)得         13

,满足

,即是等差数列

存在等差数列,使得对一切都有

     14

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