题目内容
(本题14分)已知是函数
的极值点。
(1)求实数的值;(2)若函数
恰有一个零点,求实数
的范围;
(3)当时,函数
的图象在
处的切线与
轴的交点是
。若
,
,问是否存在等差数列
,使得
对一切
都成立?若存在,求出数列
的通项公式;若不存在,请说明理由。
(Ⅰ) (Ⅱ)
或
(Ⅲ)
解析:
(1)=
2
又x=0是的极值点,
4
(2)由(1)知
当时,
,
函数
恰有一个零点
6
当时,
,当
变化时,
与
变化情况如下:
| | | | 0 | |
| + | 0 | - | 0 | + |
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由上表知函数的极大值为
,又
7
由函数的图象变化知,函数恰有一个零点时,
的取值范围为
或
8
综上所述:当时,
当
时,
或
9
(3),
,
函数的图象在
处的切线为
, 10
又其切线与轴的交点是
,代入上述方程整理得
(1)
,
代入(1)式整理得
, 11
是等比数列,
12假设存在等差数列
,使得对一切
都有
(2)
当时,
(3)
(2)-(3)得 13
又,满足
且
,即
是等差数列
存在等差数列
,使得对一切
都有
。
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