Question

4．正项等差数列{a_n}满足a₁=4，且a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+2}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=4可知a₂=4+d、a₄=4+3d、a₇=4+6d，利用a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列可知d=2或d=-6（舍），进而可知数列{a_n}是以4为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知S_n=n²+3n，裂项可知b_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并项相加、计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，a_n＞0，
a₂=a₁+d=4+d，a₄=a₁+3d=4+3d，a₇=a₁+6d=4+6d，
∵a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列，
∴（a₄+2）²=a₂（2a₇-8），即（6+3d）²=（4+d）•12d，
解得：d=2或d=-6（舍），
∴数列{a_n}是以4为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）由（1）可知a_n=2n+2，
∴S_n=2$•\frac{n（n+1）}{2}$+2n=n²+3n，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+2}$
=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．