题目内容
【题目】在无穷数列{an}中,a1=p是正整数,且满足 (Ⅰ)当a3=9时,给出p的值;(结论不要求证明)
(Ⅱ)设p=7,数列{an}的前n项和为Sn , 求S150;
(Ⅲ)如果存在m∈N* , 使得am=1,求出符合条件的p的所有值.
【答案】解:(Ⅰ)p=36,或13.
(Ⅱ)由题意,a1=7,
代入,得a2=12,a3=6,a4=3,a5=8,a6=4,a7=2,a8=1,a9=6,…
所以数列{an}中的项,从第三项起每隔6项重复一次(注:a3=a9),
故S150=a1+a2+24(a3+a4+…+a8)+a3+a4+a5+a6
=7+12+24(6+3+8+4+2+1)+6+3+8+4=616.
(Ⅲ)由数列{an}的定义,知 .
设t为数列{an}中最小的数,即 ,
又因为当an为偶数时, ,
所以t必为奇数.
设ak=t,则ak+1=t+5, ,
所以 ,解得t≤5.
所以t∈{1,3,5}.
如果ak=t=3,
那么由数列{an}的定义,得ak+1=8,ak+2=4,ak+3=2,ak+4=1,
这显然与t=3为{an}中最小的数矛盾,
所以t≠3.
如果ak=t=5,
当k=1时,p=5;
当k≥2时,由数列{an}的定义,得ak﹣1能被5整除,…,得a1=p被5整除;
所以当且仅当 时,t=5.
这与题意不符.
所以当 时,数列{an}中最小的数t=1,
即符合条件的p值的集合是{r|r∈N*,且r不能被5整除}.
【解析】(Ⅰ)由分段数列,推断计算即可得到所求p的值;(Ⅱ)由题意可得数列{an}中的项,从第三项起每隔6项重复一次,即可得到所求和;(Ⅲ)由数列{an}的定义,知 .设t为数列{an}中最小的数,即 ,推得t∈{1,3,5}.分别讨论t=3,5,1,推理,即可得到符合条件的p值的集合.
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.