题目内容

18.设f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f($\frac{1}{3}$)=$\frac{3}{2}$,且x<0时,f(x)>0.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)解不等式f(x)+f(x-1)>3.

分析 (1)赋值令x=y=0,则可求f(0)的值;令y=-x,结合f(0)的值,可得结论;
(2)利用单调性的定义,结合足f(x+y)=f(x)+f(y),可得函数的单调性,进而将抽象不等式转化为具体不等式,即可求解.
(3)根据函数的单调性以及抽象函数的关系将不等式进行转化即可.

解答 解:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数f(x)是R上的奇函数
(2)f(x)是R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,x1<x2,则x1-x2<0,即f(x1-x2)>0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x1-x2+x2)=f(x2)-f(x2)-f(x1-x2)=-f(x1-x2)<0
∴f(x1)>f(x2
故f(x)是R上的减函数.
(3)∵f($\frac{1}{3}$)=$\frac{3}{2}$,
∴f($\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$)=f($\frac{1}{3}$)+f($\frac{1}{3}$)=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3,
即f($\frac{2}{3}$)=3,
则不等式f(x)+f(x-1)>3等价为f(x+x-1)>f($\frac{2}{3}$).
即f(2x-1)>f($\frac{2}{3}$).
∵f(x)是R上的减函数.
∴2x-1<$\frac{2}{3}$.
即2x<$\frac{5}{3}$.
即x<$\frac{5}{6}$.

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性,考查解不等式,考查赋值法的运用,确定函数的单调性是关键.

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