Question

如图，在四面体PABC中，点D，E，F，分别是棱AP，AC，BC的中点．
（1）若G为PB的中点，且PC⊥AB，求证：四边形DEFG为矩形；
（2）过D，E，F的平面与PB交于G，试确定四边形DEFG的形状？并说明理由？

Answer 1

分析：（1）运用三角形的中位线平行于底边及平行公理得到四边形DEFG为平行四边形，再根据PC⊥AB得到四边形的一个内角为直角；
（2）由线面平行的判定得到PC和AB都与平面DEF平行，再由线面平行的性质定理及平行公理得到四边形的两组对边平行．

解答：（1）证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．

（2）四边形DEFG为平行四边形．
证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC
∵DE?平面BPC，PC?平面BPC，∴DE∥平面BPC
∵DE?平面DEFG，且平面APC∩平面BPC=FG，
∴DE∥FG，同理EF∥DG，
所以四边形为平行四边形．

点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了学生的逻辑思维能力，此题是基础题．