题目内容

5.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1(x>-1)}\\{{e}^{x}(x≤-1)}\end{array}\right.$,若a<b,f(a)=f(b),则实数a-2b的取值范围为(  )
A.(-∞,$\frac{1}{e}$-1)B.(-∞,1-$\frac{1}{e}$)C.(-∞,2-$\frac{1}{e}$)D.(-∞,-$\frac{1}{e}$-2)

分析 画同函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1(x>-1)}\\{{e}^{x}(x≤-1)}\end{array}\right.$的图象,结合a<b,且f(a)=f(b),表示出a-2b,利用导数法求出其上确界,可得答案.

解答 解:函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1(x>-1)}\\{{e}^{x}(x≤-1)}\end{array}\right.$的图象如下图所示:

若a<b,f(a)=f(b),
则2b-1=ea,则a-2b=a-ea-1,a≤-1,
令y=a-ea-1,a≤-1,
则y′=1-ea,a≤-1,
此时ea≤$\frac{1}{e}$,则y′>0恒成立,
故y=a-ea-1<y|a=-1=-$\frac{1}{e}$-2,
即实数a-2b的取值范围为(-∞,-$\frac{1}{e}$-2),
故选:D.

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用,根据已知画出函数f(x)的图象,是解答的关键.

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