题目内容

已知a>0且a≠1.设命题p:函数y=ax是定义在R上的增函数;命题q:关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.
分析:根据指数函数的性质可知,若p真:a>1,若q真:△=(a-1)2-4>0,再根据“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,判断命题p、q一真一假,从而求出a的范围.
解答:解:由函数y=ax是定义在R上的增函数,得a>1,
∴p为真时,a>1;
由关于x的方程x2+ax+1=0有两个不等的负实根,得
=a2-4>0
-
a
2
<0
f(0)>0
⇒a>2,
∵p或q为真,p且q为假,由复合命题真值表知:p,q一真一假,
若p真q假时,1<a≤2;
若p假q真时,
0<a<1
a>2
⇒a∈∅;
综上a的取值范围是1<a≤2.
点评:本题主要考查了指数函数的单调性及其应用,考查了二次函数的图象性质及应用,考查了复合命题的真假判断规律,利用二次函数的图象性质分析求解命题q为真时的等价条件是解答本题的关键.
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