Question

（2012•资阳二模）已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数f（x）取极值1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=-mx+

5

2

m，若x₁，x₂∈[0．m]（m＞0），不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）曲线y=f（x）上是否存在两个不同的点A、B，使过A、B两点的切线都垂直于直线AB？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式，求出a，b，c的值，根据函数的奇偶性可得到一个含等式，根据x=-1时，取得极值1，可知函数在x=-1时，导数等于0，且x=-1时，函数值等于1，又可得到两个含a，b，c的等式，三个等式联立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可；
（Ⅲ）先假设存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB，则切线斜率与AB斜率互为负倒数，又因为函数在A，B点处的切线斜率时函数在该点处的导数，就可得到含A，B点的坐标的方程，解方程，若方程有解，则假设成立，若方程无解，则假设不成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即bx²=0对于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
∵x=-1时，函数f（x）取极值1．
∴f′（-1）=0且f（-1）=1．
∴

3a+c=0 -a-c=1

，
∴a=

1

2

，c=-

3

2

．
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可．
∵函数g（x）在[0，m]上单调递减，∴g（x）_min=g（m）=-m²+

5

2

m
又f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1；f′（x）＜0得-1＜x＜1，
故函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，
则当x=1时，f（x）取得极小值，
在（0，+∞）上，当f(x)=

1

2

x3-

3

2

x=f（0）时，x=

3

，
①当0＜m≤

3

时，f（x）_max=f（0）=0，
则f（x）_max-g（x）_min=0-（-m²+

5

2

m）=m²-

5

2

m≤0，
解得0≤m≤

5

2

，故此时0＜m≤

3

②当m＞

3

时，f（x）_max=f（m）=

1

2

m3-

3

2

m，
则f（x）_max-g（x）_min=

1

2

m3-

3

2

m-（-m²+

5

2

m）=

1

2

m3+m2-4m≤0，
解得-4≤m≤2，故此时

3

＜m≤2．
综上所述，实数m的取值范围是（0，2]；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，过A、B两点的切线平行，∴f′（x₁）=f′（x₂），得x12=x22
∵x₁≠x₂，∴x₂=-x₁，则y₂=-y₁，且知x₁≠0，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

，
由于过A点的切线垂直于直线AB，∴（

3

2

x12-

3

2

）（

1

2

x12-

3

2

）=-1
∴3x14-12x12+13=0，则△=-12＜0，∴关于x₁的方程无解．
故曲线上不存在两个不同的点A、B，使过A、B两点的切线都垂直于直线AB．

点评：本题考查函数的解析式，考查函数导数与函数切线斜率之间的关系，考查恒成立问题，属于中档题．