题目内容

15.函数f(x)=$\frac{{a{x^2}+b}}{x}$的图象在点M(1,3)处的切线方程为x+y-4=0.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)m,n∈R,若$x∈[\frac{1}{2},2]$时,f(x)min≤m2+n2,且存在${x_0}∈[\frac{1}{2},2]$使得f(x0)≥m2+n2,求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,由切线方程可得f(1)=3,f′(1)=-1,解方程可得a,b;
(Ⅱ)求得f(x)在$x∈[\frac{1}{2},2]$时的极值和最值,可得m2+n2的范围,运用复数的几何意义和圆的面积公式,计算即可得到.

解答 解( I)∵$f(x)=ax+\frac{b}{x}$,∴$f'(x)=a-\frac{b}{x^2}$,
依题意$\left\{\begin{array}{l}f'(1)=-1\\ f(1)=3\end{array}\right.$,即有$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$;                       
( II)由( I)可得f(x)=x+$\frac{2}{x}$,
$f'(x)=1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-2}}{x^2}$,
令f′(x)=0解得$x=\sqrt{2}$,$x=-\sqrt{2}$(舍去),
当x变化时,f(x),f'(x)的变化如下表:

x$\frac{1}{2}$$(\frac{1}{2},\sqrt{2})$$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$,2)2
f'(x)-+
f(x)$\frac{9}{2}$极小值f($\sqrt{2}$)3
由上表可得,$f{(x)_{max}}=\frac{9}{2}$,$f{(x)_{min}}=f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$,
所以$2\sqrt{2}≤{m^2}+{n^2}≤\frac{9}{2}$.
所以z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心,${2^{\frac{3}{4}}}$为半径的圆的外部,
$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$为半径的圆的内部(包括圆周),
所以所求的区域面积为$\frac{9}{2}π-2\sqrt{2}π=(\frac{9}{2}-2\sqrt{2})π$.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,同时考查复数的几何意义和圆的面积,属于中档题.

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