题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在
上的最小值为
,求
的值;
(2)若在
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1) (2) a≥-1
【解析】试题分析:(1)求出通过①若a≥-1,判断单调性求解最值;②若a≤-e,③若-e<a<-1,求出函数的最值,即可得到a的值;
(2)化简表达式为:a>.令g(x)=
,求出h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,求出导数,判断函数的单调性,求出函数的最值,即可推出结果.
试题解析:
(1) f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-
(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=1-=
,∴a=-
(舍去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-
.综上所述,a=-
.
(2)∵f(x)<x2,∴ln x-<x2.又x>0,∴a>xln x-x3.令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,h′(x)=
-6x=
.∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.g(x)<g(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.
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