题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）判断函数
在区间
上的零点的个数；
（2）记函数
在区间上的两个极值点分别为
、
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）利用导数分析函数
在区间
上的单调性与极值，结合零点存在定理可得出结论；
（2）设函数的极大值点和极小值点分别为
、
，由（1）知
，
，且满足
，
，于是得出
，由
得
，利用正切函数的单调性推导出
，再利用正弦函数的单调性可得出结论.
（1）
，
，
，当
时，
，
，
，则函数
在
上单调递增；
当
时，
，
，
，则函数在
上单调递减；
当
时，，，，则函数在
上单调递增.
，
，
，
，
.
所以，函数在与
不存在零点，在区间
和上各存在一个零点.
综上所述，函数在区间上的零点的个数为；
（2）
，
.
由（1）得，
在区间与上存在零点，
所以，函数在区间与上各存在一个极值点、，且，，
且满足
即，，
，
又
，
即，
，
，，
，
由
在
上单调递增，得，
再由
在上单调递减，得
，即
.
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