Question

14．已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+$\sqrt{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若x∈（-π，$\frac{π}{4}$]，求使f（x）≥$\sqrt{2}$成立的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间；
（2）由f（x）≥$\sqrt{2}$，利用三角函数图象解关于x的不等式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+$\sqrt{2}$
=2sinxcosx-2sin²x+$\sqrt{2}$
=sin2x-2•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{2}$
=2in2x+cos2x+$\sqrt{2}$-1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$-1，x∈R
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
则kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵f（x）≥$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$-1≥$\sqrt{2}$，
即sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z；
即kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
又∵x∈（-π，$\frac{π}{4}$]，
∴使f（x）≥$\sqrt{2}$成立的x取值范围是（-π，-$\frac{3π}{4}$]∪[0，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的周期性与单调性的应用问题，考查了解三角函数不等式的应用问题，是基础题目．