题目内容
【题目】设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得,再由
,解得
.最后求出导函数零点,列表分析导函数符号变号规律,进而确定单调区间,(2)先分离
,再求函数
最大值,即得实数
的取值范围.
试题解析:(1)函数的定义域为
.
.
依题意得,
,即
所以.
所以,
.
当时,
;当
时,
.
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(2)设函数,故对任意
,不等式
恒成立.
又,当
,即
恒成立时,
函数单调递减,设
,则
,
所以,即
,符合题意;
当时,
恒成立,此时函数
单调递增.
于是,不等式对任意
恒成立,不符合题意;
当时,设
,
则
;
当时,
,此时
单调递增,
所以
,
故当时,函数
单调递增.
于是当时,
成立,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为:
.
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练习册系列答案
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