题目内容

1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x3,若对任意的x∈[a,a+2],f(x+a)≥f($\sqrt{2}$x)恒成立,则实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$,+∞).

分析 利用函数奇偶性和单调性之间的关系,解不等式即可.

解答 解:∵当x≥0时,f(x)=x3
∴此时函数f(x)单调递增,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴函数f(x)在R上单调递增,
若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f($\sqrt{2}$x)恒成立,
则x+a≥$\sqrt{2}$x恒成立,
即a≥($\sqrt{2}$-1)x恒成立,
∵x∈[a,a+2],
∴[($\sqrt{2}$-1)x]max=($\sqrt{2}$-1)(a+2),
即a≥($\sqrt{2}$-1)(a+2),
解得a≥$\sqrt{2}$,
即实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$,+∞).
故答案为:[$\sqrt{2}$,+∞).

点评 本题考查函数单调性的应用:利用单调性处理不等式恒成立问题.将不等式化为f(a)≥f(b)形式是解题的关键.

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