Question

本小题满分12分）
已知函数是偶函数.
(I)证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；
(II)若方程有且只有一个解，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）由函数是偶函数可得：


即对一切恒成立，
……………………………3分
由题意可知，只要证明函数在定义域上为单调函数即可.
任取且，则…………5分
，即，
……………6分
函数在上为单调增函数.
对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点.………7分
（II）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一个实根，
令，问题转化为方程：有且只有一个正根.………8分
（1）  若，则，不合题意；…………9分
（2）  若时，由或，当时，不合题意；当时，；……………10分
（3）  若时，，若方程一个正根与一个负根时，则.
………11分
综上：实数的取值范围是.……………12分

略