题目内容
【题目】已知二次函数和
.
(1)为偶函数,试判断
的奇偶性;
(2)若方程有两个不相等的实根,当
时判断
在
上的单调性;
(3)当时,问是否存在x的值,使满足
且
的任意实数a,不等式
恒成立?并说明理由.
【答案】(1)为奇函数(2)答案不唯一,具体见解析(3)存在,详见解析
【解析】
(1)根据偶函数的定义可知,可求出
的值,求出
的定义域看是否对称,然后根据奇偶性定义进行判定;
(2)有两个不相等的实根可转化成
,可判定对称轴的范围,从而确定函数
在
上的单调性;
(3)不等式恒成立可转化成
对于
且
时恒成立,建立不等式组,解之即可求出所求.
解:(1)若为偶函数,有
,则
,定义域为
,且
,所以
为奇函数.
(2)由,整理得:
,且
,即
或
,又
的对称轴为
所以当时,
在
上为增函数;当
时,
在
上为减函数.
(3)由,即
,有
由已知它对于且
时上面不等式恒成立,则有
解得:.
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