Question

【题目】已知f（x）=x2﹣ （x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（x）在（﹣∞，﹣2]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=x2，

对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数．

当a≠0时，f（x）=x2﹣ （a≠0，x≠0），取x=±1，

得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，

∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数，

综上，当a=0时，f（x）为偶函数；

当a≠0时，函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数

（2）解：f′（x）=2x+ ，

要使函数f（x）在x∈（﹣∞，﹣2]上为减函数，

则有f′（x）≤0在（﹣∞，﹣2]时恒成立，

即2x+ ≤0恒成立，

即a≤﹣2x3对x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，

故a≤16

【解析】（1）通过讨论a=0和a≠0，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）求出函数的导数，问题转化为a≤﹣2x3对x∈（﹣∞，﹣2]恒成立，从而求出a的范围即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．