Question

设命题P：关于x的不等式ax2-ax-2a2＞1（a＞0且a≠1）的解集为{x|-a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”将两部分合并，即可得出实数a的取值范围．

解答：解：对于不等式ax2-ax-2a2＞1其解得情况如下：
当a＞1时，即为x₂-ax-2a²＞0，解得x＜-a，或x＞2a
当0＜a＜1时 即为x₂-ax-2a²＜0，解得-a＜x＜2a 
当命题Q：y=lg（ax²-x+a）的定义域为R 为真命题时，
易知a≠0，∴a＞0，且△=1-4a^2＜0，即a＞

1

2

 
∵P或Q为真，P且Q为假  
∴P，Q中一真一假，
若P真Q假，则有0＜a＜1且a≤

1

2

，∴0＜a≤

1

2

若P假Q真，则有  a＞1且  a＞

1

2

，∴a＞1
综上所述，P或Q为真，P且Q为假，
a的取值范围是0＜a≤

1

2

，或a＞1．

点评：本题考查含参数的不等式的解法，对数函数性质，复合命题真假的判断，以及逻辑思维能力．本题的关键是转化为时P，Q真假的条件．注意分类讨论．