题目内容

11.我们把函数y=f(x)图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f(x)的“中心距离”,已知函数g(x)=x+$\frac{a}{x}$(a>0)的“中心距离”不小于$\sqrt{2}$,则实数a的取值范围为[$\sqrt{2}$-1,+∞).

分析 任取函数g(x)=x+$\frac{a}{x}$图象上的一点P(x,x+$\frac{a}{x}$),由距离公式和基本不等式可得|OP|=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$,再由题意可得$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$,解关于a的不等式可得.

解答 解:由题意任取函数g(x)=x+$\frac{a}{x}$(a>0)图象上的一点P(x,x+$\frac{a}{x}$),
由两点间的距离公式可得P到原点的距离|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+(x+\frac{a}{x})^{2}}$
=$\sqrt{2{x}^{2}+\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2a}$≥$\sqrt{2\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}}+2a}$=$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$,
当且仅当2x2=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$即x=±$\sqrt{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$时取等号,
∵“中心距离”不小于$\sqrt{2}$,
∴$\sqrt{2\sqrt{2}a+2a}$≥$\sqrt{2}$,
解得a≥$\sqrt{2}$-1,
∴实数a的取值范围为:[$\sqrt{2}$-1,+∞)
故答案为:[$\sqrt{2}$-1,+∞)

点评 本题考查距离公式,涉及新定义和基本不等式求最值,属中档题.

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