Question

11．已知函数f（x）=asinwx+coswx，给出下列四个命题：
①函数f（x）的图象恒过（0，1）点；
②函数f（x）不可能为奇函数；
③当w=2时，函数f（x）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{3}$；
④当a=$\sqrt{3}$时，存在实数w，使得函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递减．
其中正确的命题是①④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①代入点的坐标即可验证；
②由f（-x）=-f（x），可解得当coswx=0时函数f（x）为奇函数，故②错误；
③当w=2时，可求f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ），求得周期T，即可得解．
④当a=$\sqrt{3}$时，可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），解得其单调递减区间，由$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$$≤\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$，k∈Z，可解得：k=0时，2≤ω≤4，从而得解．

解答 解：∵①f（0）=asin0+cos0=1，故①正确；
②∵假设：函数f（x）为奇函数；
则：f（-x）=asin（-wx）+cos（-wx）=-asinwx+coswx=-asinwx-coswx=-f（x），
可解得：2coswx=0，
即当coswx=0时函数f（x）为奇函数，故②错误；
③∵当w=2时，f（x）=asin2x+cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x+θ），tanθ=$\frac{1}{a}$，
∴周期T=$\frac{2π}{2}=π$，函数f（x）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，故③不正确；
④∵当a=$\sqrt{3}$时，f（x）=$\sqrt{3}$sinwx+coswx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），可解得其单调递减区间为：[$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$]，k∈Z
∴$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{ω}$$≤\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$≤$\frac{2kπ+\frac{4π}{3}}{ω}$，k∈Z，可解得：k=0时，2≤ω≤4，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了不等式的解法，属于基本知识的考查．