题目内容

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若 $数学公式$ ，则直线l的斜率为________．

$\text{[math]}$
分析：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（ $\text{[math]}$ ，0），准线方程： $\text{[math]}$ ，由过焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，
知C点横坐标为x_c=- $\text{[math]}$ ．设直线l方程y=k（x- $\text{[math]}$ ）．由 $\text{[math]}$ ，知B为 $\text{[math]}$ 四等分点．设B（a，b），则B（ $\text{[math]}$ ，± $\text{[math]}$ ），代入直线方程，能求出直线l的斜率．
解答：

解：∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（ $\text{[math]}$ ，0），准线方程： $\text{[math]}$ ，
过焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，
∴C点横坐标为x_c=- $\text{[math]}$ ．
由于直线l过F（ $\text{[math]}$ ），故设方程y=k（x- $\text{[math]}$ ）．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴B为 $\text{[math]}$ 四等分点，
设B（a，b），则a= $\text{[math]}$ ，b=± $\text{[math]}$ ．
所以B（ $\text{[math]}$ ，± $\text{[math]}$ ），代入直线方程，
得- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，，
解得k= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．