Question

已知椭圆（），圆：，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴、轴分别交于点，则          

Answer 1

解析考点：椭圆的简单性质。
分析：设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，求出点M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），从而得到的值。
解答：
设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则切线PA、PB的方程分别为 x_A?x+y_A?y=1，
x_B?x+y_B?y=b²．由于点P 是切线PA、PB的交点，
故点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PAB的方程．
故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，
故点M（b²/ x_P，0），N（0，b²/ y_P），
又x_P² / a²+ y_P²/ b²=1，  = a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
∴
= a²y_P²/ b⁴+ a²x_P²/ b⁴=（x_P² / a²+ y_P²/ b²）?a²/ b²= a²/ b²。
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到故A，B 是x_P?x+y_P?y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，是解题的难点和关键。