Question

1．现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．
（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；
（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记ξ=X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 判断得出概率满足$P（{A_i}）=C_4^i{（\frac{1}{3}）^i}•{（\frac{2}{3}）^{4-i}}$，
（I）运用独立试验解决即可$P（{A_3}）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{81}$；
（II）确定随机变量的值：X=0，1，2，3，4则Y=4，3，2，1，0，即可求解ξ的所有可能取值为0，3，4，分类求解概率，列出分布列，即可求解数学期望

解答 解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为$\frac{1}{3}$，选择B题目的概率为$\frac{2}{3}$，
记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴$P（{A_i}）=C_4^i{（\frac{1}{3}）^i}•{（\frac{2}{3}）^{4-i}}$，
（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为$P（{A_3}）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{8}{81}$；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，3，4，且$P（ξ=0）=P（{A_0}）+P（{A_4}）=C_4^0{（\frac{2}{3}）^4}+C_4^4{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$，$P（ξ=3）=P（{A_1}）+P（{A_3}）=C_4^1（\frac{1}{3}）•{（\frac{2}{3}）^3}+C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}•（\frac{2}{3}）=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$，$P（ξ=4）=P（{A_2}）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}•{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，
∴ξ的分布列是

ξ	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

所以$E（ξ）=0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}=\frac{8}{3}$．

点评 本题考虑学生的阅读分析问题的能力，离散型的概率分布，对立重复试验问题，属于中档题．