题目内容
1.现有4名学生参加演讲比赛,有A、B两个题目可供选择.组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被3整除的数则选择A题目,掷出其他的数则选择B题目.(Ⅰ)求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率;
(Ⅱ)用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数,记ξ=X•Y,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).
分析 判断得出概率满足$P({A_i})=C_4^i{(\frac{1}{3})^i}•{(\frac{2}{3})^{4-i}}$,
(I)运用独立试验解决即可$P({A_3})=C_4^3{(\frac{1}{3})^3}•(\frac{2}{3})=\frac{8}{81}$;
(II)确定随机变量的值:X=0,1,2,3,4则Y=4,3,2,1,0,即可求解ξ的所有可能取值为0,3,4,分类求解概率,列出分布列,即可求解数学期望
解答 解:由题意知,这4个人中每个人选择A题目的概率为$\frac{1}{3}$,选择B题目的概率为$\frac{2}{3}$,
记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
∴$P({A_i})=C_4^i{(\frac{1}{3})^i}•{(\frac{2}{3})^{4-i}}$,
(Ⅰ)这4人中恰有一人选择B题目的概率为$P({A_3})=C_4^3{(\frac{1}{3})^3}•(\frac{2}{3})=\frac{8}{81}$;
(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0,3,4,且$P(ξ=0)=P({A_0})+P({A_4})=C_4^0{(\frac{2}{3})^4}+C_4^4{(\frac{1}{3})^4}=\frac{16}{81}+\frac{1}{81}=\frac{17}{81}$,$P(ξ=3)=P({A_1})+P({A_3})=C_4^1(\frac{1}{3})•{(\frac{2}{3})^3}+C_4^3{(\frac{1}{3})^3}•(\frac{2}{3})=\frac{32}{81}+\frac{8}{81}=\frac{40}{81}$,$P(ξ=4)=P({A_2})=C_4^2{(\frac{1}{3})^2}•{(\frac{2}{3})^2}=\frac{24}{81}$,
∴ξ的分布列是
ξ | 0 | 3 | 4 |
P | $\frac{17}{81}$ | $\frac{40}{81}$ | $\frac{24}{81}$ |
点评 本题考虑学生的阅读分析问题的能力,离散型的概率分布,对立重复试验问题,属于中档题.
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
A. | 3(2-$\sqrt{3}$)π | B. | 4(2-$\sqrt{3}$)π | C. | 3(2+$\sqrt{3}$)π | D. | 4(2+$\sqrt{3}$)π |