Question

（2012•杭州一模）函数f（x）=

(1-cos2x)•(1-cos2x)

2

+

1

4

•sin22x-

2

cos2x+5

（x∈R）的最小值为（　　）

• A．-

  1

  3

• B．-

  1

  2

• C．1
• D．5

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为3-[

cos2x+5

2

+

2

cos2x+5

]，t=cos2x+5，则f（x）=g（t）=3-[

t

2

+

2

t

]，且 4≤t≤6．利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值．

解答：解：f（x）=

(1-cos2x)•(1-cos2x)

2

+

1

4

•sin22x-

2

cos2x+5

=

(1-cos2x)

2

sin²x+

1

4

•sin22x-

2

cos2x+5

 
=

(1-cos2x)

2

•

(1-cos2x)

2

+

1

4

•sin22x-

2

cos2x+5

=

1-cos2x

2

-

2

cos2x+5

=3-[

cos2x+5

2

+

2

cos2x+5

]．
令t=cos2x+5，则f（x）=g（t）=3-[

t

2

+

2

t

]．  由-1≤cos2x≤1，可得 4≤t≤6．
令 g′（t）=-

1

2

+

2

t2

=0 可得 t=2，或t=-2．当t＞2时，g′（t）＜0，
故函数 g（t） 在（2，+∞）上是减函数，故g（t）在[4，6]上是减函数，故当t=6时，g（t）有最小之值为-

1

3

，
故选A．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，三角函数的恒等变换，余弦函数的值域，属于中档题．