Question

【题目】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得当0＜x≤4时，v=2；

当4＜x≤20时，设v=ax+b，

由已知得： ，解得： ，

所以v=﹣ x+ ，

故函数v=

（2）解：设年生长量为f（x）千克/立方米，

依题意并由（1）可得f（x）=

当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；

当4＜x≤20时，f（x）=﹣ x2+ x=﹣ （x2﹣20x）=﹣ （x﹣10）2+ ，

f（x）max=f（10）=12.5．

所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米

【解析】（1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可．