Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（I）当0＜a＜

1

2

，x∈[-1，1]时，f（x）的最小值为-

3

4

，求实数a的值．
（II）如果x∈[0，1]时，总有|f（x）|≤1．试求a的取值范围．
（III）令a=1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n），数列{

g(n)

2n

}的前n项的和为T_n，求证：T_n＜7．

Answer 1

分析：（I）找出二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系以及最小值就可求出实数a的值；
（II）转化为关于a的不等式，借助于关于x的函数的最值来求a的取值范围即可．
（III）先利用二次函数的性质求出在[n，n+1]上的单调性，进而求出g（n），以及数列{

g(n)

2n

}的表达式，再利用错位相减法求和．即可证得T_n＜7．

解答：解：（1）由0＜a＜

1

2

知-

1

2a

＜-1，
故当x=-1时f（x）取得最小值为-

3

4

，
即f(-1)=a-1=-

3

4

，∴a=

1

4

（2）由|f（x）|≤1得|ax²+x|≤1，
-1≤ax²+x≤1对于任意x∈[0，1]恒成立，
当x=0时，f（x）=0，则|f（x）|≤1恒成立；
当x≠0时，有

a≤ 1 x2 - 1 x =( 1 x - 1 2 )2- 1 4 ① a≥- 1 x2 - 1 x =-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4 ②

对于任意的x∈（0，1]恒成立；∵x∈(0，1]∴

1

x

≥1，
则(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

≥0，故要使①式恒成立，
则有a≤0，又a≠0∴a＜0；又-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

≤-2，
则有a≥-2，
综上所述：-2≤a＜0．
（3）当a=1时，f（x）=ax²+x，则此二次函数的对称轴为x=-

1

2

，开口向上，
故f（x）在[n，n+1]上为单调递增函数，
且当x=n，n+1时，f（n），f（n+1）均为整数，
故g（n）=f（n+1）-f（n）+1=（n+1）²+（n+1）-n²-n+1=2n+3?（n∈N^*），
则数列{

g(n)

2n

}的通项公式为

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，
故Tn=

5

2

+

7

22

+

9

23

++

2n+1

2n-1

+

2n+3

2n

①
又

1

2

Tn=

5

22

+

7

23

+

9

24

++

2n+1

2n

+

2n+3

2n+1

②
由①-②得

1

2

Tn=

5

2

+2(

1

22

+

1

23

++

1

2n

)-

2n+3

2n+1

=

7

2

-

2n+7

2n+1

∴Tn=7-

2n+7

2n

，
∴T_n＜7．

点评：本题是对数列和二次函数性质的综合考查，涉及到错位相减法求和..错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．