Question

过抛物线y²=4x焦点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，则|AB|的最小值是

4

．

Answer 1

分析：①当AB与x轴垂直时，|AB|=2p；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+2p，即可得到其最小值．

解答：解：由抛物线y²=4x可得：焦点F（1，0）．
①当AB与x轴垂直时，|AB|=2p=4；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立

y=k(x-1) y2=4x

，
消去y得到k²x²-（4+2k²）x+k²=0．
∴x1+x2=

4+2k2

k2

．
∴|AB|=

4

k2

+2+2p=6+

4

k2

＞6．
综上①②可知：|AB|的最小值是4．
故答案为4．

点评：本题考查了抛物线的焦点弦长问题、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．