Question

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，则△OAB的重心的横坐标为

 

．

Answer 1

分析：先求得抛物线焦点坐标，进而设出过焦点的直线方程代入抛物线方程消去x，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂=，代入|AB|的表达式中即可求得k，进而根据三个定点的横坐标求得△OAB的重心的横坐标．

解答：解：由题意知抛物线焦点F（1，0），
设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入抛物线方程消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
∵|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的横坐标为x=

0+x1+x2

3

=2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及直线与圆锥曲线联立消元后利用韦达定理解决问题．