Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EF∥AC，AE=AB，AC=2EF.

（1）求证：平面BED⊥平面AEFC；

（2）若四边形AEFC为直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）首先根据题中条件证明线面垂直，然后根据线面垂直证明面面垂直.

（2）首先建立空间直角坐标系，然后求出点的坐标，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，

所以，

又因为平面AEFC⊥平面ABCD，

平面AEFC平面ABCD，

平面ABCD，所以平面AEFC，

又因为平面，所以平面BED⊥平面AEFC.

（2）建立如图所示空间直角坐标系

可知，，

点，

则,

设为平面的法向量，为平面的法向量，

由，，

解得，

设二面角B-FC-D为，

所以