题目内容

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC．
（1）若a=3，b=4，求|
CA
+
CB
|的值；
（2）若C=
π
3
，△ABC的面积是
3
，求
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
的值．
分析：（1）整理题设条件，由两角和与差的正弦公式展开求得sin2B=sin2A，进而判断出A=B或A+B=
π
2
，根据A≠B，判断出C=
π
2
，根据
CA
⊥
CB
，进而求得|
CA
+
CB
|．
（2）若C=
π
3
，则C≠
π
2
，∴A=B，a=b，判断出三角形为等边三角形．进而根据三角形面积求得边长，则
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
可求．
解答：解：由（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC，得
（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），
∴2b2sinAcosB=2a2cosAsinB．根据正弦定理有：
2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，
∵A、B为三角形的内角，
∴A=B或A+B=
π
2
．
（1）若a=3，b=4，则A≠B，∴A+B=
π
2
，C=
π
2
，
CA
⊥
CB
，
∴|
CA
+
CB
|=
CA
2+
CB
2+2
CA
•
CB
=
a2+b2
=5．
（2）若C=
π
3
，则C≠
π
2
，∴A=B，a=b，三角形为等边三角形．
由S△ABC=
1
2
a2sinC=
3
，解得a=2，
∴
AB
•
BC
+
BC
•
CA
+
CA
•
AB
=3×2×2cos
2π
3
=-6．
点评：本题主要考查了两角和与差的正弦，解三角形问题，正弦定理的应用．考查了学生的基本的运算能力和推理能力．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2
在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面积为10
3
cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面积S=
3
3
2
，求边c的值．
在△ABC中，A，B，C为三个内角，若cotA•cotB＞1，则△ABC是（　　）
已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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