Question

【题目】已知点是抛物线上的一点，过点作两条直线与，分别与抛物线相交于异于点的两点．

若直线过点且的重心在轴上，求直线的斜率；

若直线的斜率为1且的垂心在轴上，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

设直线AB的方程为，设A，B两点的坐标分别为，，根据重心的性质，以及根与系数，根据斜率公式即可求出;分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．

设直线AB的方程为，设A，B两点的坐标分别为，

因为的重心G在x轴上，所以，

将直线AB代入抛物线方程可得：，

所以，解得：，

所以直线AB的斜率是．

若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是，所以，

若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为，

将直线AB代入抛物线方程可得：，

所以，，且，

因为，所以，将，代入

得，

将，代入上面方程可得：，

由此方程解得：或舍，

所以直线AB的方程是．